2018年全国卷Ⅰ卷文科数学解析
一、选择题
№.11 【题文】已知角$\alpha$的顶点为坐标原点，始边与$x$轴的非负半轴重合，终边上有两点$A(1，a)$，$B(2，b)$，且$cos2\alpha=\cfrac{2}{3}$，则$|a-b|=$ $A.\cfrac{1}{5}\hspace{2em}$ $B.\cfrac{\sqrt{5}}{5}\hspace{2em}$ $C.\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\hspace{2em}$ $D.1$ 分析：自行做出示意图，由选项可知，可以将角的终边放置在第一象限，这样$b>a$，从而所求$|a-b|=\cfrac{|a-b|}{1}=\cfrac{b-a}{1}=tan\alpha$， 到此题目转化为已知$cos2\alpha=\cfrac{2}{3}$，求$tan\alpha$的值， 即已知$cos2\alpha=\cfrac{cos^2\alpha-sin^2\alpha}{cos^2\alpha-sin^2\alpha}=\cfrac{1-tan^2\alpha}{1+tan^2\alpha}=\cfrac{2}{3}$， 从而解得$tan^2\alpha=\cfrac{1}{5}$，则$tan\alpha=\cfrac{\sqrt{5}}{5}$，故选B。三、解答题
№.21 【题文】 函数$f(x)=a\cdot e^x-lnx-1$， (1)、设$x=2$是$f(x)$的极值点，求$a$，并求$f(x)$的单调区间。 【解析】$f'(x)=ae^x-\cfrac{1}{x}$，由$f'(2)=0$，解得$a=\cfrac{1}{2e^2}$； 即$f(x)=\cfrac{e^x}{2e^2}-lnx-1$； 下面求单调区间，定义域是$(0，+\infty)$， 【法1】：$f'(x)=\cfrac{e^x}{2e^2}-\cfrac{1}{x}=\cfrac{1}{2e^2}\cdot \cfrac{xe^x-2e^2}{x}$ 到此，结合题目给定的$f'(2)=0$，猜想验证，写出结果， 当$0< x <2$时，$f'(x )<0$，当$x >2$时，$f'(x) >0$， 故单调递减区间是$(0，2)$，单调递增区间是$(2，+\infty)$； 【法2】：令$f'(x)>0$，即$\cfrac{e^x}{2e^2}>\cfrac{1}{x}$，即$xe^x-2e^2>0$，观察可得，$x >2$ 同理，令$f'(x)<0$，可得$0< x < 2$， 故单调递减区间是$(0，2)$，单调递增区间是$(2，+\infty)$； (2)、证明$a\ge \cfrac{1}{e}$时，$f(x)\ge 0$。 【法1】： 已知题目$a\ge \cfrac{1}{e}$是$f(x)\ge 0$的充分条件，转化为求$f(x)\ge 0$恒成立时，求解$a$的取值范围，即必要条件。 由题目$f(x)\ge 0$可知，$ae^x-lnx-1 \ge 0$，即$ae^x\ge lnx+1$， 分离参数得到$a\ge \cfrac{lnx+1}{e^x}$恒成立， 令$h(x)= \cfrac{lnx+1}{e^x}$，只需要求得$h(x)_{max}$， $h'(x)=\cfrac{\cfrac{1}{x}e^x-(lnx+1)e^x}{(e^x)^2}=\cfrac{\cfrac{1}{x}-lnx-1}{e^x}$ $=\cfrac{1}{e^x}\cdot \cfrac{1-x-x\cdot lnx}{x}$ 说明：此时有一个很实用的数学常识，当表达式中含有$lnx$时常常用$x=1$来尝试寻找分点。比如此题中$h'(1)=0$ 然后分$(0，1)$和$(1，+\infty)$两段上分别尝试判断其正负，从而得到 当$0< x <1$时，$h'(x)>0$，$h(x)$单调递增， 当$x >1$时，$h'(x)<0$，$h(x)$单调递减， 故$x=1$时，函数$h(x)_{max}=h(1)=\cfrac{1}{e}$， 故$a\ge \cfrac{1}{e}$时，$f(x)\ge 0$。 小结：1、本题转而求$f'(x)\ge 0$的必要条件。 2、注意含有$lnx$或$ln(x+1)$的表达式的分点的尝试，其实质是数学中的观察法。 【法2】：分析，当$a\ge \cfrac{1}{e}$时，$f(x)\ge \cfrac{e^x}{e}-lnx-1=g(x)$，只需要说明$g(x)_{min}\ge 0$即可。 当$a\ge \cfrac{1}{e}$时，$f(x)\ge \cfrac{e^x}{e}-lnx-1$， 设$g(x)=\cfrac{e^x}{e}-lnx-1$，则$g'(x)=\cfrac{e^x}{e}-\cfrac{1}{x}=\cfrac{1}{e}\cdot \cfrac{xe^x-1\cdot e^1}{x}$， 故用观察法容易得到 $0< x <1$时，$g'(x)<0$，$x > 1$时，$g'(x)>0$， 即$x=1$是函数$g(x)$的最小值点，则$x>0$时，$g(x)\ge g(1)=0$， 故$a\ge \cfrac{1}{e}$时，$f(x)\ge 0$。 №.22 【题文】 略 【解析】
